Динамика по профилю задача паркет

Динамическое программирование по профилю

Определение:

Динамическое программирование по профилю (англ. dynamic programming with profile) — способ оптимизации перебора количества вариантов с помощью динамического программирования, когда одно из измерений небольшое.

Определение:

Профиль (англ. profile) — один из столбцов (строк), удовлетворяющий условию задачи. Обычно используется в качестве состояния динамики.

Содержание

Общие принципы

Обычно дана таблица и надо посчитать количество замощений этой таблицы некоторыми фигурами (замощение шахматной доски доминошками). Можно перебрать все варианты и выбрать из них удовлетворяющие условию. Но можно воспользоваться методом динамического программирования по профилю и сократить время по одной размерности до линейной. Затем пусть у нас есть правило по которому надо заполнить и для него нам надо [math]k[/math] предыдущих линий. Тогда можно перебрать все замощения длиной [math]k\times n[/math] . В итоге нужно заполнить данную таблицу этими замощениями. Получается, что если перебирать все варианты нам понадобится [math]O(a^)[/math] времени, а если перебирать только состояния и переходить по ним нам потребуется [math]O(a^m)[/math] времени (где [math]a[/math] — количество способов замощения одной клетки).

Задача о замощении домино

Условие

Найти количество способов замостить таблицу [math]n\times m[/math] с помощью доминошек размерами [math]1\times 2,2\times 1[/math] .

Решение

Для удобства можно хранить профили в виде двоичных масок. В качестве состояния динамики будем использовать профили размерами [math]n[/math] . В этом профиле [math]1[/math] будет означать, что домино лежит горизонтально и заканчивается на этом столбце, иначе [math]0[/math] . Таких профилей будет [math]2^n[/math] . Теперь проверим из какого профиля в какой можно перейти.

Из профиля [math]i[/math] в профиль [math]j[/math] можно перейти если выполняются условия:

• Можно положить горизонтальные домино. То есть там где в [math]j[/math] профиле стоит [math]1[/math] , в [math]i[/math] профиле должен стоять [math]0[/math] .

• Можно доложить в оставшиеся клетки вертикальные домино. То есть оставшиеся [math]0[/math] в [math]i[/math] профиле должны образовывать четные подстроки.

Пусть [math]d[i][j] = 1[/math] если из профиля [math]i[/math] можно перейти в [math]j[/math] -ый, иначе [math]0[/math] .

Пусть так же [math]a[k][i][/math] — количество способов замощения первых [math]k-1[/math] столбцов и заканчивавшийся на [math]i[/math] -ом профиле. Тогда [math]a[k][i]=\displaystyle \sum_^ <2^n -1>a[k-1][j]\cdot d[j][i][/math]

Ответом будет [math] \sum a[m][i][/math] , где [math]i[/math] — профиль, который может быть последним (т.е. все группы из [math]0[/math] имеют четные размеры).

Реализация

Оценка сложности: подсчет [math]d — 2^<2n>[/math] , и подсчет [math]a — 2^<2n>m[/math] в итоге [math]O(2^<2n>m)[/math] .

Оценка памяти: [math]O(2^ <2n>+ 2^<2n>m)[/math] , так же можно заметить что в массиве [math]a[/math] для [math]k[/math] состояния нам нужно только [math]k — 1[/math] состояние, при такой реализации нужно будет [math]O(2^<2n>)[/math] . Еще можно не считать массив [math]d[/math] , а просто каждый раз перепроверять можем ли мы перейти в это состояние в итоге потребуется [math]O(2^)[/math] памяти, но нам потребуется больше времени [math]2^<2n>mf(i,j)[/math] , где [math]f(i,j)[/math] время проверки возможности перехода из [math]i[/math] в [math]j[/math] равно [math]n[/math] и тогда время получается [math]O(2^<2n>mn)[/math] .

Задача о симпатичных узорах

Условие

Дана таблица [math]n\times m[/math] , каждая клетка которой может быть окрашена в один из двух цветов: белый или черный. Симпатичным узором называется такая раскраска, при которой не существует квадрата [math]2\times 2[/math] , в котором все клетки одного цвета. Требуется найти количество симпатичных узоров для соответствующей таблицы.

Решение

Для удобства можно хранить профиля в виде двоичных масок. В качестве состояния динамики будем использовать профили размера [math]n[/math] . В этом профиле [math]1[/math] будет означать что клетка закрашена в черный цвет, и [math]0[/math] если в белый. Из профиля [math]i[/math] в [math]j[/math] -ый можно перейти если выполнено условие:

• если поставить [math]i[/math] и [math]j[/math] профиль рядом, то не должно быть квадратов [math]2\times 2[/math] одного цвета

Пусть [math]d[i][j] = 1[/math] если из профиля [math]i[/math] можно перейти в [math]j[/math] -ый, иначе [math]0[/math] .

Пусть так же [math]a[k][i][/math] — количество способов раскрашивания первые [math]k-1[/math] столбцов и заканчивавшийся на [math]i[/math] -ом профиле. Тогда [math]a[k][i]=\displaystyle \sum_^ <2^n -1>a[k-1][j]\cdot d[j][i][/math]

Ответом будет [math] \displaystyle \sum_^ <2^n -1>a[m][i][/math]

Реализация

Оценка сложности: подсчет [math]d — 2^<2n>[/math] , и подсчет [math]a — 2^<2n>m[/math] в итоге [math]O(2^<2n>m)[/math] .

Оценка памяти: [math]O(2^<2n>+2^<2n>m)[/math] , так же можно заметить что в массиве [math]a[/math] для [math]k[/math] состояния нам нужно только [math]k-1[/math] состояние, при такой реализации нужно будет [math]O(2^<2n>)[/math] . Еще можно не считать массив [math]d[/math] , а просто каждый раз перепроверять можем ли мы перейти в это состояние в итоге потребуется [math]O(2^)[/math] памяти, но нам потребуется больше времени [math]2^<2n>mf(i,j)[/math] , где [math]f(i,j)[/math] время проверки возможности перехода из [math]i[/math] в [math]j[/math] равно [math]n[/math] и тогда время получается [math]O(2^<2n>mn)[/math] .

Динамика по изломанному профилю

Определение:

Изломанный профиль (англ. broken profile) — обобщение прямого профиля на случай, когда обработанным является не целое число столбцов, а некоторое количество столбцов и несколько первых клеток следующего столбца.

Это очень сильная оптимизация динамики по профилю. Идея в том, чтобы добиться как можно меньшего числа переходов (от одного профиля к другому).

Пример

Еще раз используем в качестве примера задачу о замощении. Базовая линия теперь будет ломаной: при прохождении через [math]i[/math] -ю вертикаль сверху вниз, она переходит на предыдущую вертикаль и спускается до низу. Теперь профиль — это не только маска, но ещё и место излома.

Профилем будет пара [math](p, i)[/math] , в [math]p[/math] будет информация о [math]n + 1[/math] маленьком квадратике слева от базовой линии, имеющем с ней общие точки; [math]i[/math] обозначает номер горизонтали, на которой произошел излом. Квадратики профиля будут нумероваться сверху вниз, так что угловой будет иметь номер [math]i + 1[/math] . Горизонтали будем нумеровать с нуля, так что [math]i[/math] пробегает значения от [math]0[/math] до [math]n — 1[/math] .

Пусть [math]d[pr_1][pr_2] = 1[/math] если из профиля [math]pr_1[/math] = [math](p_1, i_1)[/math] можно перейти в [math]pr_2 = (p_2, i_2)[/math] , иначе [math]0[/math] .

• Eсли [math]i \lt n — 1[/math] , то [math]i_1 + 1 = i_2[/math] , иначе [math]i_2 = 0 [/math] ;

• Mожно так положить доминошку, накрывающую квадратик с номером [math]i + 1[/math] , что после этого в [math]p_2[/math] будет храниться в точности информация о соответствующих квадратиках.

Проще говоря, доминошку можно класть только двумя способами — как показано на рисунках (на квадратик с номером [math]i + 1[/math] можно положить не более одной вертикальной и горизонтальной доминошки). То, что потом получается после сдвига вниз излома, и будет новым профилем. Заметим, что если клетка [math]i + 1[/math] занята, то доминошку уже не надо класть, и [math](p, i)[/math] логично отождествить с [math](p, i + 1)[/math] . Условно пишется — » [math]i + 1[/math] «, однако, нужно всегда иметь в виду возможность [math]i = n — 1[/math] .

Легко заметить, что количество профилей увеличилось в [math]2n[/math] раз (добавилось число от [math]1[/math] до [math]n[/math] и еще один бит). Но зато количество переходов резко сократилось с [math]2^n[/math] до [math]2[/math] .

При такой реализации существует немало профилей только с одним переходом (например, у которых [math](i + 1)[/math] -й бит равен единице). Отождествим все профили с один переходом с теми, кто их них получается. Это будет выглядеть так: пусть [math]pr_2[/math] (и только он) получается из [math]pr_1[/math] , который, в свою очередь, получается из [math]pr_0[/math] . Тогда имеются такие соотношения: [math]d[pr_0, pr_1] = 1[/math] , [math]d[pr_1, pr_2] = 1[/math] . Отождествить [math]pr_1[/math] и [math]pr_2[/math] — это, по сути, заменить эти два соотношение на одно, то есть теперь [math]d[pr_0, pr_1] = 0[/math] и [math]d[pr_1, pr_2] = 0[/math] , но [math]d[pr_0, pr_2] = 1[/math] , и так далее.

Таким образом, возможно сокращение профилей не менее чем вдвое. Хотя можно совершить дальнейшие оптимизации.

В итоге асимптотика составляет [math]O(2^nnm)[/math] . Это доказывает, что данный метод значительно лучше простого способа подсчёта динамики.

Источник

Динамика по профилю. Задача «паркет»

MAXimal :: φορυμ » Algo » Динамика по профилю. Задача «паркет»

Чтобы отправить ответ, вы должны войти или зарегистрироваться

Сообщений [ 14 ]

1 Тема от darkhac 2009-10-01 16:51:40

• darkhac
• Участник
• Неактивен

• Зарегистрирован: 2009-10-01
• Сообщений: 1

Тема: Динамика по профилю. Задача «паркет»

Может ктонибудь обьяснить решение предложеное в алгоритмах?

2 Ответ от manof 2009-10-04 11:42:24

• manof
• Участник
• Неактивен

• Зарегистрирован: 2009-09-01
• Сообщений: 13

Re: Динамика по профилю. Задача «паркет»

3 Ответ от Oleg 2009-10-04 21:56:55

• Oleg
• Участник
• Неактивен

• Зарегистрирован: 2009-09-22
• Сообщений: 86

Re: Динамика по профилю. Задача «паркет»

Кстати доминошную динамику можно реализовать и за O(M*N*M^2)

4 Ответ от ScalAr 2009-10-05 09:43:01

• ScalAr
• Участник
• Неактивен

• Зарегистрирован: 2009-09-10
• Сообщений: 10

Re: Динамика по профилю. Задача «паркет»

Кстати доминошную динамику можно реализовать и за O(M*N*M^2)

5 Ответ от Oleg 2009-10-13 14:39:04

• Oleg
• Участник
• Неактивен

• Зарегистрирован: 2009-09-22
• Сообщений: 86

Re: Динамика по профилю. Задача «паркет»

6 Ответ от winger 2009-10-13 15:31:27

• winger
• Участник
• Неактивен

• Откуда: Санкт-Петербург
• Зарегистрирован: 2009-06-17
• Сообщений: 25

Re: Динамика по профилю. Задача «паркет»

Там не про O(M*N*M^2), а про O(M*N*2^M)
Тем не менее, количество замощений доминошками прямоугольника все же можно считать за полиномиальное время)

7 Ответ от Oleg 2009-10-13 15:34:37

• Oleg
• Участник
• Неактивен

• Зарегистрирован: 2009-09-22
• Сообщений: 86

Re: Динамика по профилю. Задача «паркет»

Упс. Конечно описался

8 Ответ от KADR 2009-10-13 16:20:49

• KADR
• Участник
• Неактивен

• Откуда: Киев
• Зарегистрирован: 2009-06-25
• Сообщений: 231

Re: Динамика по профилю. Задача «паркет»

На Тимусе есть такая задача
http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1594
Правда ее сдало всего 9 человек и я не из их числа. Интересно было бы узнать, как все-таки она делается.
В обсуждении есть формула, но в ней фигурируют синусы и косинусы, потому по ней считать нельзя.

9 Ответ от e-maxx 2009-10-13 22:47:15

• e-maxx
• admin
• Неактивен

• Откуда: Саратов
• Зарегистрирован: 2009-06-10
• Сообщений: 360

Re: Динамика по профилю. Задача «паркет»

KADR
гугли по «ацтекскому диаманту».

10 Ответ от KADR 2009-10-13 22:56:06

• KADR
• Участник
• Неактивен

• Откуда: Киев
• Зарегистрирован: 2009-06-25
• Сообщений: 231

Re: Динамика по профилю. Задача «паркет»

Я находил статьи про Aztec Diamond, но связи с этой задачей я не вижу.

11 Ответ от e-maxx 2009-10-13 23:10:41

• e-maxx
• admin
• Неактивен

• Откуда: Саратов
• Зарегистрирован: 2009-06-10
• Сообщений: 360

Re: Динамика по профилю. Задача «паркет»

Например, статья Кохася «Разбиение ацтекских диамантов и квадратов на домино». У нас правда не квадрат, но всё равно по-моему вся информация есть в этой или подобных статьях. Кстати, в ней приводится и некая формула Кастелейна, которая как раз основана на косинусах и синусах.

12 Ответ от winger 2009-10-14 01:25:42 Отредактировано winger (2009-10-14 01:26:04)

• winger
• Участник
• Неактивен

• Откуда: Санкт-Петербург
• Зарегистрирован: 2009-06-17
• Сообщений: 25

Re: Динамика по профилю. Задача «паркет»

Вообще, есть общий полиномиальный алгоритм для подсчета количества паросочетаний в планарном графе, правда к этой зададаче он не подходит (сложность порядка O(n^3)*(сложность длинного умножения n-битных чисел), где n — количество вершин в графе)

13 Ответ от Narg 2009-10-16 00:52:55

• Narg
• Участник
• Неактивен

• Откуда: St. Petersburg
• Зарегистрирован: 2009-09-28
• Сообщений: 3

Re: Динамика по профилю. Задача «паркет»

Можно про последний поподробнее?

14 Ответ от winger 2009-10-19 20:44:42

• winger
• Участник
• Неактивен

• Откуда: Санкт-Петербург
• Зарегистрирован: 2009-06-17
• Сообщений: 25

Re: Динамика по профилю. Задача «паркет»

Собственно алгоритм:
1) ориентируем граф так, чтобы у каждой грани было нечетное число ребер, ориентированных по часовой стрелке
2) берем знаковую матрицу смежности (она будет антисимметричной)
3) считаем пфаффиан (корень из определителя, http://en.wikipedia.org/wiki/Pfaffian) этой матрицы. Он и будет количеством паросочетаний

Сообщений [ 14 ]

Чтобы отправить ответ, вы должны войти или зарегистрироваться

MAXimal :: φορυμ » Algo » Динамика по профилю. Задача «паркет»

Источник